Lexicon musicum Latinum

München, Bayerische Staatsbibliothek (D-Mbs) Clm 6006, f. 167r-176r Transcription: Christian Meyer (mai 2006)

<167r> Theoremata Musicae magistri Iohannis de muris abbreviata ex Boecii Musica.

Omnium quidem perceptio sensuum ita sponte ac naturaliter ac naturaliter quibusdam viventibus adest ut sine his animal intelligi non possit. Boetius clare musicam commendat. Vide eius prologum.

Ca. 2

Musicae tria sunt genera. Est enim mundana, humana et instrumentalis. Mundana in caelo, elementis et temporibus conspicitur. Humana in corporis humani complexione. Instrumentalis que vel nervis vel spiritu experitur (?)

Ca. 3

Consonantia que omnem musice modulationem regit praeter sonum fieri non potest. Sonus vero non sine pulsu et percussione, pulsus sine motu esse non potest. Si enim cuncta sunt immobilia non poterit alterum alteri concurrere, ut alterum impellatur ab altero. Sonus est percussio aeris indissoluta usque ad auditum. Consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia.

<167v> De speciebus inequalitatis Ca. 4

Quot vero sunt inequalia quinque inter se modis inequalitatis momenta custodiunt. Primum genus dicitur multiplex. Est vero multiplex ubi maior numerus minorem in se habet vel bis vel ter vel quater. Et dicitur duplum, triplum quadruplum. marg. : proportio dupla : 2 ad 1, 12 ad 6 ; tripla : 6 ad 2 ; quadrupla : 8 ad 2. Secundum superparticulare dicitur quando maior numerus minorem in se numerum totum continet et unam eius partem vel eius dimidiam. Et dicitur proportio sesqualtera, ut 3 ad 2, vel sesquitertia ut 4 ad 3. marg. : sesquialtera : 3 ad 2 ; sesquitercia : 4 ad 3. Tertium genus fit quando maior minorem continet et aliquantas eius partes. Et si duas vocatur superbipartiens ut 5 ad 3, si tres dicitur supertriparciens ut 7 ad 4. marg. : superbipartiens : 5 ad 3 ; supertripartiens : 7 ad 4. Quartum inequalitatis genus est quod ex multiplici et superparticulari coniungitur, quando maior numerus continet in se numerum minorem bis vel ter vel quocienslibet atque eius unam partem aliquam. Et si eum bis habet et dimidiam partem dicitur duplex sesqualter. <168r> Si minor bis continetur et tertia eius pars dicitur duplex sesquitercius, si ter et dimidia pars dicitur triplex supersesquitertius ut 7 ad 2. marg. : duplex sesquialter : 5 ad 2 ; duplex sesquitercius : 7 ad 3 ; triplex sesquialter : 7 ad 2 Quintum genus inequalitatis dicitur multiplex superpartiens quando maior minorem in se plus quam semel habet et eius plusquam unam aliquam partem. Et si bis maior minorem continet et duas eius partes vocatur duplex superbipartiens, ut 3 ad 8, et ter supertripartiens <ut> xi ad 3. marg. : duplex superbipartiens : 8 ad 3 ; triplex superbipartiens : 11 ad 3.

Quae inequalitatis species consonanciis aptentur. Ca. 5

Ultima duo relinquuntur. De tribus vero prioris speculatio facienda est. Primum autem genus plus aliis ad consonantias recepitur.

Cur multiplicitas et superparticularitas consonantiis deputentur. Ca. 6

Simplicia plus ad armoniam valent. Discreta quantitas in minimo finita est sed in crescendo in infinitum tendit. Continua tota quidem finita est <168v> sed per infinita minuitur vel dividitur. Linea quidem que continua est, infinita semper particione dividitur. Superparciens inequalitas secundum pithagoricos non est adaptata musicis armonicis. Ptolomeus vero applicuit.

Quae proportiones musicis consonanciis aptentur. Ca. 7

Omnes musice consonanciae aut in duplici, aut in triplici, aut in quadrupla, aut in sesquialtera, aut in sesquitercia proportione consistit.

Sesquitertia Sesquialtera Dupla Tripla Quadrupla

dyatesseron dyapenthe dyapason dyapenthe ac dyapason bisdyapason

4 5 2

Quid sit sonus, quid intervallum, quid concinentia. Ca. 8

Sonus est vocis caus emmeles, i. aptus melo in unam intensionem. Et similiter diffinitur phtongus phtongos. Intervallum est soni acuti gravisque distantia. Consonantia est acuti soni <169r> gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accedens. Dissonantia est duarum sonorum sibimet permixtorum ad aurem veniens aspera atque iniocunda percussio.

Non sensus sed rationis iudicium est eligendum. Ca. 9

Auditus est necessarius quia sine eo sonorum iudicium haberi non potest. Sed iudicium est rationis quia sensus debilitate sepe impeditur. Est autem auditus rationis famulus.

sensus dub.

Pithagoras proportiones quomodo invenerit. Ca. X

Quoniam esset anxius de sonorum proprietate invenienda preterit officinam fabrilem. Audiens malleorum consonantias intrat et perspexit et 5^tum abiecit. Quatuor reservans qui se habebant in pondere tali : 12, 9, 8, 6. Primus fuit in duplo maius 4^to. 2^us continebat 4^tum et alteram eius partem. Vide in figura.

<169v> [fig. 1]                             dyapason                                    8^a                dyapente                dyap.                      5^a                        5^a       dyatesseron                            dyatesseron              4^a                   2^a                      4^a 12                     9                     8                    6     sesquitertia     sequioctava    sesquitertia               sesquialtera      sesquialtera

Quibus modis pithagoras proportiones consonantiarum repperit. Ca. XI

Pithagoras omnibus instrumentis musicalibus applicatis, nullam repperit dissonantiam sicut patet in capitulum XI Boecii.

Divisio vocum. Ca. XI

Omnis enim vox aut syneches est que continua aut diastematice, i. que cum intervallo est suspensa.

Infinitatem vocum humana natura finivit. Ca XIII

Hoc in capitulum patet.

Quis sit modus audiendi. Ca. 14

Sicut in voce fit quemadmodum in aqua si lapis magnus mergitur. Vide Boecium plene in eodem.

De ordine theorematum. Ca. 15

Omnis cantilena texitur aut diatonico, aut cromatico, aut enarmonico.

De consonanciis proportionum, de tono et semitonio. Ca. 16.

Dyapason Dyapenthe Dyathesseron Tonus in quo non est consonantia Dyapason et dyapenthe Bisdiapason Dyatesseron et dyapenthe

in dupla sesquialtera sesquitertia sesquioctava tripla quadrupla dyapason faciunt

1 2 2 3 3 4 8 9 2 4 6 2 4 8 2 3 4

[fig. 2] dyap ; dupla ; 2

<170v> [fig. 3-7] dyapason ; 8 ; dupla ; 1 2 dyapenthe ; 5 ; sesquialtera ; 2 3 dyatesseron ; 4 ; sesquitercia ; 3 4 tripla ; dyapason ac dyapenthe ; 2 4 6 ; dyapason dupla ; dyapenthe sesquialtera dupla dyapason ; dyathesseron ac dyapenthe

5^um theorema Debet dyatesseron dyapenthe in tono superare. 2 4 3 Pro medio inveniendi multiplica extrema adinvicem de radix numeri producti radix.

<171r> [fig.8-11] Has tres melodias numeros dare clarificantes Que dyapenthe sonat dyapason debet superare. [fig. 8] A – octava ; dyapason proportio dupla ; dyapenthe 5^ta ; proportio sesquialtera ; 5^a 5^a ; dyatesseron 4 ; tonus 2^a sesqui8 ; 12 9 8 6 [fig. 9] B – multiplices augmentate ; superparticulares diminute.

Theorema Ad in plus dyapenthe dyatesseron stare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [fig. 10] 6 est minor quam 5 5 4 3 a tribus. Maior est denominatio quam 2^a, ideo 3^aminor 2^a. altera (?) 2 a duobus.

Theor. Dyatesseron tunc veluti minimam resonare Dyapason est maior dyatesseron minor [fig. 11] 8 5 tres 4 in natura

Et dyapason habent dyapenthe dyatesseron iuncta creare

Omnis proportio <...> probat quartum theorema

<171v> [fig. 12-20] [fig. 12] 9*2 = 18  ; 8*2 = 16 ; <16 > 17 (medius) 18 [fig. 13] tonus : 9/8 ; medium non habet Costa dyameter maior costa minore 2 costis

[fig. 14] Multiplices proportiones. dupla ; tripla, quadrupla, quintaupla, sextupla, septula, octupla, noncupla, decupla, undecupla, duodecupla, trecupla sesqui -altera, -3^a, -4^a, 5, 6, 7, 8,  9, 10, 11, 12^a

[fig. 15] Superparticulares proportiones 2*9 = 18 ; 2*8 = 16 16 17 19

Ac in plus dyapenthe quam dyatesseron stare Et diatesseron veluti minimam resonare Et dyapason habent dyapenthe dyatesseron iuncta creare 5^ta Debet dyatesseron a dyapenthe tono superari

Regula in mathematica Denominatores debent simul iungi Numeratores simul iungi

[fig. 16] ter 4 sunt 12 3/2 x 4/3 = 12/6 dyapason

[fig. 17] bis ter sunt 6 6/9 (sesqualterum) 6/12 (dupla)

[fig. 18] additio 3/2 – 4/3 = 9/8 tonus ; minus numerus

Regula. Si duo numeri in aliqua proportione se habent et augentur per unum numerum tunc numeri procreati faciunt eundem numerum 2, 2/1, 4/2

[fig. 19] 2-4-8 (duple) 2-4-8 (quadrupla ; medium ; dupla, dupla) 4*6/3 (dupla) = 24/12 (dupla)

[fig. 20] sesquioctava (8/9)*2/2 = 18/16 2 est pars octava 16 ; quia dessumptum sunt 18

Sesquisextadecima : 16 17

<172r> Augmentum numeri scandunt primo a binario

[fig. 21-25] [fig. 21] C 2    4    6    8   10   12   13   16   18   2 0    22    24    26 1    2    3   4     5     6     7     8     9    10     11    12    13                                  sesqui- 2^a 3^a 4^a 5^a 6^a 7^a 8^a 9^a 10^a 11^a 12^a

[fig. 22] sesquisexta : 12/10 sesquiquinta : 10/8

[fig. 23a] D X^a conclusio. A primo ad ultimum, i. a 16 ad 18 cum una 16^a sesqui8^a tonus – sesqui17^a cum una sesqui18^a equalis est sesqui16^a sesqui16^a – sequi 17^a 16     17    18    18^<1/16> 256  272  288  289 (multiplica 16 in se et pervenient 256) Prima pars figure

[fig. 23b] A principio ad tertium est a 17 ad 19 cum una 17^a ad 19 cum una 8^a tonus – sesqui8^a cum una 17^a equalis sesqui17^a sesqui17 sesqui17^a – sesqui18^a 17      18     19^<1/17>    19^<1/8> 289   306   324    325^<1/2> Secunda pars figure

Inque pares partes non posse tonum mediari. [fig. 24 a et b] costa, diameter

Est semis et duplex tonus in dyatesseron vere.

Primus octuplus est 8. 2^usfit per multiplicationem 8 in se ut octies 8 qui sunt 64. 3^usinvenitur sic : multiplica 8 per 64 et erit 512.

[fig. 25] dyatesseron ditonus – tonus cum semitonium tonus 1^us – tonus 2^us – semitonium 192    216   243   256 8^a 8^a 8^a 8^a 24 27 30^3/8 32 64 81 ut        re      mi     fa 9 sesquitercia 12

<172v> 4/3, 12/9 : dyatesseron Diatesseron constat ex duobus tonis et semitonio Dyatesseron sunt due sesqui8^ve et tertia imperfecta. Semitonium quasi dimidius tonus tunc dicitur a semis quod est imperfectus quasi imperfectus tonus. Sed diapenthe tonos tres et semis dico tenere. Bina semitonia cum 5 tonis dyapason.

4^a cum 5^a faciunt octavam [fig. 26-28] [fig. 26] continetur dupla        sesqualtera 4^a 12                     8                       6 5^a sesquitercia

Igitur erunt ibi sex toni quia duo semitonii faciunt unum tonum quia semitonium non potest mediari

Que sunt parte<s> toni Quaero toni quales <sint> partes. X theorema Ergo semitonium minus in numeris reperire. XI

Regula mathematicarum : per 2 sit numerus productus est 2^a pars

[fig. 27] sesqui3^a 81           a           4           81           256                                                                                           differentia ditonus                                        semitonium minus 13 duplata                                                                                              26 64                       3           64            243 8^a pars 8                                           273^3/8

[fig. 28]            18         234 13 17         221            16         208

Subtractio fit per modum divisionem in fractis.

<173r> Unde semitonium maius ostendo invenire

[fig. 29]                                                    tonus               semitonium minus                       semitonium maius                    differentia                                     differentia                         104                                               139 1944                      2048                   2187  243                    256                                             273^3/8 8^a                                             differentia                                         differentiarum                                                   35

Ubi maior differentia ibi est maius semitonium.

<173v> Theorema 13.Sex ostendo tonos dyapason non dare plenos

[fig. 30-31] [fig.30] G Sex toni continui   primus tonus – secundus – tercius –     4^tus –         5^ut –          6^tus

Primus octuplus

8

9

2^us

64

72

81

3^us

512

576

648

729

4^us

4096

4608

5184

5832

6561

5^us

32768

36864

41472

46656

52488

59049

sextus

262144

294912

331776

373248

419904

472392

53144

Semper superior numerus est octava pars inferius

Dupla : 262144/524288

Non ex quinque tonis duplex dyatesseron esse.

Intendere : quando 8^a pars additur numero tunc fit intensio. Remittere : in gravi trahere quartam partem.

[fig. 31] H. 5 toni continui duplex dyatesseron                                  diatessaron                         diatesseron 43690^2/3  /                58254^2/3                       1^ustonus     2^us tonus   3^us tonus   4^us tonus     5^us tonus octuplus    32768       36864       41472       46656       52488       52049 3^a pars     10922 8^a pars      4096         4608          5181         5832        6561

<174r> [fig. 32-33] [fig. 32] I.                                  duplex diathessaron 5 toni                                              differentia                                                  597            dyapente intensa                                       dyapente remissa 32768                        43690                      44287                           59049 3^a pars 10922 <2/3> addenda                                                  4^a pars 14762^<1/4>

Est ex praedictis coma reperire. Coma quando habetur perfecta 2^a.

Duo semitonia dempta a tono : residuum erit coma.

[fig. 33] diapason : 524288/262144 Sex toni : 531441/262144 coma : 531441/524288 524288 262144                         531441

<174v> [fig. 34] bis dyapason cum dyapenthe monocordum Iohannis Muris Dyapason – dyapason – dyapente b c d e f g h i k l m n o p q r s t v (b) c d e f g h i k l m n o p q r s t v a h c d e f g a h c d ee ff gg aa 19 corde. Instrumentum Iohannis Muris

<175r> [fig. 35] tonus dytonus dyatesseron dyapenthe tonus cum dyapenthe bis dyatesseron dyapason 8^a <diapason> cum tono <diapason> cum dytono <diapason> cum dyatesseron <diapason> cum dyapente bis dyapason quadruplex dyapason tritonus cum semitonio dytonus cum semitonio dytonus dytonus tonus semiditonus duae cordae aa gg ff ee d c b a g f e d c b a Γ sol fa la la sol fa la sol ut la sol fa mi re ut re ut mi sol fa # mi re mi re ut ut re ut mi re ut